Språk + Matematik = Sant

Räknande är en nästan uteslutande skriftlig hantering av symboler. Främst med dessa:

=, +, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (och några till)

Matematik har vissa tecken, som bildar meningar, med vissa betydelser. Och de används enligt vissa regler, en sorts grammatik.

Borde då inte elever som har lätt för språk också finna att matematik är ett annorlunda och intressant språk?

På sätt och vis kan man säga att skolan utsätter oss för en bluff, genom att vi år efter år sysslar med ett språk samtidigt som skolan inte ens berättar för oss att det är ett språk.

Man kan ju omedelbart konstatera att räkning är en skriftspråklig praktik. Men det språkliga är så nära oss, så självklart för oss, så det är svårt att få syn på det.

Hemmablindheten är stor, även för matematiklärarna. Jo, den språkintresserade kan finna matematiken intressant, men då måste vi först få syn på dessa språkliga sidor hos matematiken.

En del personer säger att matematik är ett språk. Man kan höra det från fysiker som använder mycket matematik. De kan hela tiden se fysikaliska betydelser i sina formler, för de har en fysikalisk semantik – betydelse – som beskrivs med matematiska formler. För dem uttrycker matematiken fysik.

För en frukthandlare kan 2, 3, 4 och 100 beteckna olika grupper av frukter, så för denne kan talen betyda frukt – och det räcker bra. Men matematikens formler har fler betydelser än så.

Matematik är inte bara ett språk – den har också sina egna sanningar. Exempelvis kan talet π – pi – inte skrivas som ett bråk mellan två heltal. Man kan komma nära, men inte precis till värdet för π.

Det finns oändligt många primtal, alltså heltal större än 1 som inte kan delas med andra tal än sig självt och 1, till exempel 2, 3, 5, 7, 11 och 13. Och det finns en lösningsformel för en andra-, tredje- och fjärdegradsekvation, men ingen för en femtegradsekvation.

Det finns en enorm mängd matematisk kunskap. I en matematiktext på svenska kan man tala om fyra språk som man ständigt växlar mellan. Vi har:

1. normalsvenska
2. matematiskt fackspråk
3. formelspråket (siffror, =, + och så vidare), som kan kallas matematiska
4. geometriska figurer, som cirkel, triangel och kvadrat. Formlers innehåll kan ofta exemplifieras eller uttryckas med en figur.

Fackspråket – som matematiskan kan sägas vara – är ett tillägg till svenskan. Alla ämnen har en specialvokabulär. Denna vokabulär är inte sällan försåtlig, genom att ord i allmänspråket kanske används i annorlunda betydelser i fackspråket – ibland är det bara en nyansskillnad. Ett par exempel:

Alltså: en sida är på matematiskt fackspråk vanligen en yta, inte en linje. Det vore en mer konsekvent matematisk terminologi om man talar om triangelns tre kanter, och en enda sida innanför dessa kanter. Att språk är inkonsekventa och delvis missvisande är oundvikligt – det gäller även matematikens terminologi. Men det är viktigt att vi är medvetna om de möjliga missförstånden för att kommunikationen ska fungera.Ett annat exempel är barn som klipper ut trianglar med papper. De kan efter ett tag utbrista: ”En triangel har ju två sidor – framsida och baksida!” Vi kan inte hålla med, för vi är vana att se triangelns tre sidor som linjerna som förbinder triangelns tre hörn. Men, å andra sidan, vad brukar egentligen ordet sida betyda? På en låda är det ju kanter som förbinder hörnen, medan sidorna är rektanglar. Sidan i en bok är den plats där bokstäverna står, medan man kan skära sig på papprets kant – här får inga bokstäver plats.

Låt oss nu övergå till formelspråket, som kan kallas matematiska. Det är en term som skulle behövas på våra mobiltelefoner när vi väljer språk. Här finns ”svenska”, turkiska”, ”arabiska” och så vidare, men när det gäller siffror så står där bara ”1 2 3 …” i brist på terminologi.

Matematiskan är karaktäristisk för dagens matematik, ibland lite väl mycket. Det förekommer matematiskt tänkande utan att det kallas för matematik. Exempelvis gör personer som väver tyger ibland avancerade matematiska kalkyler utan att de skulle använda termen matematik. Men matematisk forskning måste skrivas på matematiska för att bli publicerad, naturligtvis med kommentarer på ”normalspråk”.

Man brukar säga att matematiken föddes under antiken, under Pythagoras tid, cirka 500 f.Kr., eftersom man då började ställa sigmatematiska frågor som inte var direkt motiverade av praktiska frågor. Man betecknade då tal med grekiska bokstäver, vilket inte fungerade något vidare för stora tal.

Detta beteckningssätt avlöstes av romerska siffror, men på 1200-talet introducerades de arabiska siffrorna i Europa genom Leonardo Fibonnaccis bok Liber abacus.

Symbolspråket är mindre än 400 år gammalt – alltså ett ungt språk. Det började växa på allvar under 1600-talet. Ett tecken som likhetstecknet, =, uppfanns av engelsmannen Robert Recorde på 1500-talet med motiveringen att ”ingenting kan vara mer likt än två parallella linjer som dessutom är lika långa”. Hans uppfinning tilldelades i mitten på 1900-talet en egen plats på skrivmaskinernas tangentbord, och därmed senare på datorernas.

Formelspråket växte fram som en sorts stenografi som underlättade tänkandet. Innan dess var matematiken helt retorisk, det vill säga att man skrev hela meningar. ”Ett tals kvadrat är lika med talet plus ett” skulle vi i dag skriva ”x2 = x + 1”. Denna jämförelse mellan retorik och symbolik gör det genast tydligt att uttrycket ”x2 = x + 1” är en mening, eftersom det är så i den retoriska formen.

Det blir också tydligt att meningens verb borde vara ”=”, som ju betyder ’är lika med’.

Denna stenografiska funktion har säkert haft en enorm betydelse för matematikens utveckling. Kan man skriva effektivt kan man tänka mycket längre.

Matematiska är alltså ett ungt språk, som har sitt ursprung i ”naturligt” språk. Det gör det lätt att jämföra med ”normalsvenska”, det vill säga retorisk matematik, att översätta tillbaka – och på det sättet avkoda dess struktur och dess meningar. Sådana översättningar förekommer mycket sällan i skolan, vilket är ett tecken på den höga muren mellan språk och matematik.

I det svenska alfabetet finns 29 bokstäver. Men i en text på svenska möter vi många andra tecken som vi måste förstå. Vi har en stor mängd skiljetecken, som punkt, frågetecken, komma, tankstreck och semikolon. Även mellanslag bör räknas som ett tecken.

Intressant är att mellanslaget, som i vissa sammanhang representeras av ”_”. Detta påminner om hur nollan historiskt växte fram som först en punkt, sedan en liten ring och sedan en större ring, som representerade en tom plats i positionssystemet. Nollan adlades senare från tom plats till ”tal”. Man kan till exempel multiplicera med noll, medan det verkar betydligt svårare att multiplicera med ett tomrum.

Decimalbråk kan man också möta i en svensk text. Så om man till alfabetets två versioner, gemener och versaler, lägger övriga tecken som man kan vänta sig möta i svenska texter, så kan vi tala om minst 86 tecken.

Låt oss göra en motsvarande undersökning av matematiskans alfabet. I dagens matematiska har vi först och främst tio siffror. Vi har också likhetstecknet, =, samt tecken för operationer, som addition, +, och subtraktion, –. Men multiplikation kan betecknas på fyra sätt; det finns fyrasynonymer. De är ∙, ×, * och ”ingenting”, eftersom exempelvis 2x betyder 2∙x. Division har tre synonymer: –, /, ÷. De har lite olika användningsområden, liksom – mer eller mindre – synonyma ord eller tecken ofta har, som lukt, doft, stank och boquet.

Eftersom minustecknet och bråkstrecket är likadana har vi här en dubbelbetydelse, eller homograf. Man skiljer dem genom var talen står i förhållande till dem. Minustecknet betyder dessutom två olika saker: en operation mellan två tal (5 – 3) och en del av ett negativt tal (–3), vilket är en homograf till.

Redan angående de enklaste räknesätten har vi således inte en helt enkel situation. Vi har både synonymer och homografer, precis som på svenska. Språkligheternas osynlighet i skolan innebär att elever förväntas själva nysta upp detta. I praktiken får man fortsätta att gissa sig fram under sin skolgång.

Matematiskan använder som bekant även bokstäver: både det svenska och det grekiska alfabetet. Tillsammans med ännu fler specialtecken, som decimalkomma, olikhetstecken och parenteser, kommer vi upp till 130 tecken. Universitetsmatematik innehåller ytterligare flera hundra specialtecken som man tycker underlättar förståendet eller räknandet.

Matematiskan är också full av synonymer! En ekvation som 2 + 3 = 5 betyder just att 2 + 3 och 5 är synonymer. Det betyder att 2 + 3 och 5 har samma värde. Kanske inte exakt samma betydelse, om man till exempel hävdar att 2 + 3 är en addition medan 5 inte är det.

Detta med synonyma ord har en djup betydelse i matematik. Ännu mer på nästa nivå, om vi går från ord till meningar. Synonyma ord är ord som betyder samma sak, medan hela meningar med samma betydelse kallas i matematik ekvivalenta påståenden. Meningarna bananen är inte mogen och bananen är grön betyder i många fall samma sak i praktisk användning. Så de är ekvivalenta. De matematiska meningarna 3 = x – 2 och x = 5 är ekvivalenta – de är sanna för precis samma värde för x. Många matematiska bevis är kedjor av ekvivalenta meningar. Detta är därför helt fundamentalt för matematikens kunskapsinnehåll. Att kunna skriva samma sak på olika sätt är helt avgörande för matematiska bevis.

Matematiska är ett språk där man får göra uppfinningar. Det kallas definition. Det innebär att en ny symbol, ny terminologi eller ett nytt skrivsätt introduceras, som sedan kan användas utan begränsningar.

Här är ett exempel. Om vi vill undersöka vilka värden x4 + x2 – 3 har för olika x, kan det vara praktiskt att kalla uttrycket f(x). Alltså, vi definierar f(x) = x4 + x2 – 3. Vi vill nog hitta x där f(x) = 0. Det blir lättare att uttrycka sig med f(x).

Siffrorna står för grundläggande betydelser. Tre äpplen och tre träd är ett räkneord och ett substantiv i plural, som tillsammans kan generaliseras till tre saker, fortfarande ett räkneord och ett substantiv. Vi generaliserar ytterligare och stryker saker, och bara tre återstår. Saker är underförstått. På matematiska överförs då den substantiviska betydelsen till talet tre, som så att säga blir matematikens motsvarighet till språkets substantiv.

Detta beror på att matematiken är generell. Den fungerar på samma sätt oberoende av vad vi räknar.

På matematiska används också bokstäver för att ersätta tal, till exempel x. Man kan man fråga sig ”Vad är x om x2 = x + 1 gäller?”, ungefär som Vem var hon som kom in i tandläkarmottagningen klockan 13.00? Man vill i stället för x ha ett tal, och i stället för hon ett namn, det vill säga ett x eller en hon som uppfyller villkoret. Man kan därför säga att bokstäverna är matematiskans pronomen – ersättningsord.

Har matematiskan verb? Javisst! Det viktigaste av dem är likhetstecknet =, som ju betyder ”är lika med”, eller ”har samma värde som”.

Matematiskans verb gör ett uttryck till ett påstående, annars är det bara en numerisk storhet. Andra viktiga matematiska verb är ≠, (är inte lika med), ≈ (är ungefär lika med), < > (är mindre än, är större än), ⊃ ⊇ ⊂ ⊆ (är delmängd av, innehåller) och ∈ (tillhör).

Ett påstående kan vara sant eller falskt. Annars har vi ett uttryck, som har ett numeriskt värde. Uttrycket 4/33 kan inte vara sant eller falskt, men det har ett värde, medan 4/33 = 58 är ett påstående (som är falskt). Uttrycket 4/33 = 58x är sant eller falskt beroende på vilket värde x har. Ett verb gör ett numeriskt uttryck till ett påstående. För verb på matematiska finns dock bara ett tempus: presens, för matematiska sanningar är oberoende av tiden. 2 + 3 är lika med 5 – i evighet.

Svenska och matematiska fungerar ofta på markant olika sätt. En påtaglig skillnad är vad parenteserna ( ) betyder. I svenska är det något som kan utelämnas, medan det i matematiska snarare är tvärtom: vad som ska räknas ut först. 2⋅ (3 + 4) blir 2⋅7 och inte 6 + 8. Det som räknas ut först har vad som kallas ”högst prioritet”. I matematiska har varje ”bokstav” en egen (oftast numerisk) betydelse, de får(oftast) inte betydelse förrän de ingår i ett ord, liksom är fallet med svenskans bokstäver.

Det finns en avgörande skillnad mellan svenska och matematiska: en mening på svenska vill man främst förstå, medan en mening på matematiska främst är något man kan göra något med – något man kan använda. Konjugatregeln, x2 – y2 = (x – y)(x + y), kan man kanske förstå, men det är framför allt ett verktyg för att räkna. Det här är förstås bara en gradskillnad, man kan använda meningar på svenska också. Men förståelsen av matematiska påståenden kommer när man märker vad man kan göra med dem

En journalist utryckte det så här ”Jag tyckte matematik var svårt i skolan tills jag kom på att det bara gällde att räkna ut rätt svar. Då var det lätt.” Hon hade kanske innan det ansträngt sig att förstå varje mening, som man gör med meningar på svenska.

Men vad betyder ett tal som 0,15? Vilken semantik har vi i detta språk?

Låt oss som föreberedelse tänka på vad ett ord på svenska betyder. Ta till exempel ordet väska. Det är en behållare för föremål som är gjord för att ta med sig för hand, till skillnad från tillexempel en container. Väskan ska också kunna ta med lite allt möjligt – ett glasögonfodral kallar vi inte ”en liten väska”. Det finns stora och små väskor, handväskor och resväskor, bagar och portföljer. Dyra och billiga, nya och gamla, oanvända och slitna. De finns i alla färger och utföranden. En väska kan bidra med en känsla av trygghet, status, välbefinnande, missnöje, skam, trötthet och mycket annat.

Ett tal som 0,15 kan betyda kvantiteter i många sammanhang: 0,15 hekto skinka, 0,15 kvadratmeter tyg, 0,15 kubikmeter olja – alltså betydelser som finns i tillämpningar av matematik. Det finns också mer ”inom-matematiska” betydelser, som talets storlek jämfört med andra tal. Exempelvis är det viktigt att veta att 0,15 är mindre än 0,8, trots att 15 är större än 8. Att förståpositionssystemet är naturligtvis viktigt för att förstå 0,15. En annan form av betydelse för 0,15 är de olika sätt talet kan skrivas på. Samma tal kan också skrivas som 15/100 eller 3/20 eller 1 – 0.85, detta är återigen olika synonymer. En matematisk–geometrisk betydelse för 0,15 är en viss punkt på en tallinje.

Man kan säga att matematiska uttryck har tre olika typer av semantik:

1. Tillämpad. Dessa betydelser kan räcka för att handlaren, sömmerskan eller fysikern ska hålla med om att ett matematiskt påstående är sant. Detta är egentligen en hel gruppbetydelser: en för varje tillämpning. Dessa betydelser kan finnas på grund av matematikens generalitet: det faktum att matematiken är relevant i de mest skilda områden.
2. Logisk–formell. Denna pågår vid matematiska bevis. Här går man enbart efter vad reglerna säger – dess logiska innehåll och definitionernas exakta form. Denna semantik tar längre tid att lära sig. Den finns för matematiken har ett så tydligt språk och så renodlat innehåll att det går att göra formella bevis med extraordinärt stor hållbarhet, det vill säga sanningshalt.
3. Idémässig. Denna typ är oberoende av tillämpningar, generell, men ändå inte formell. Främst har vi geometri och figurer, som ju inte behöver vara knutna till någon särskild tillämpning. Detta är den semantik som mest påminner om ”naturliga” språks betydelseinnehåll, och antagligen mest svarar mot en upplevelse av förståelse. Den är viktig för intuition och problemlösning.

Matematiskan är alltså ett språk med vissa regler, som man mycket väl kan kalla dess grammatik. Matematiskan har också en betydelsenivå, en semantik.

Men matematik har en nivå till. Det är den som alla som löser matematiska problem befinner sig på. Den upplever man när man försöker hitta en lösning på ett problem.

Du måste gå efter dina aningar, testa dem, och sedan, efter en ny erfarenhet, kanske prova ett annat sätt, med dina nya uppdaterade aningar. Detta är mycket intuitivt, men en intuition som bygger på den kunskap och erfarenhet man har. Att de personliga aningarna styr ger verksamheten en konstnärlig prägel.

Mest central kunskap är här sätt att lösa problem: problemlösningsstrategier. Vilka har jag tillgång till och vilka begränsningar har de? Kan de användas i kombination? Detta är till stor del intuitiv och oformulerad kunskap.

Och här syndar skolan som mest, genom att ofta ge elever intrycket att det finns ett enda sätt att lösa ett problem. Då är konstnärligheten borta. När man upptäcker hur många sätt det finns att utföra en division mellan två tal kan detta vara frustrerande om man är van vid att ett sätt måste vara det rätta. Är då de andra sätten fel? Tvärtom, en sådan jämförelse mellan olika uppställningar är mycket värdefull, för det finns något som är gemensamt för alla sätt. Det som är gemensamt är essensen i division. Det som är olika beror på hur man har valt att skriva räknandet, att ställa upp det.

Notera att vid problemlösning är de matematiska formlerna objekt för tänkandet. Formlerna och siffrorna är en sorts legoklossar som man försöker sätta ihop på ett sätt som ger en lösning. Det är i subjekt/objektperspektiv man kan tala om problemlösningen som en nivå över den rent språkliga.

Därför kan man tala om tre skilda typer av matematisk kunskap, definierade utifrån matematiskan:

1. Över matematiskan. Problemlösningsstrategier. Vad ska vi göra med formlerna för att hitta ett svar? Kunskap om hur matematikens räkneregler kan användas för att lösa ett matematiskt problem. Denna kunskap är intuitiv och erfarenhetsbaserad. Det är en kunskap som vi faktiskt kräver av eleverna i skolan, för att endast kunna imitera är inte kunskap. Denna kunskap kan knappast alls datorprogrammeras.
2. På matematiska-nivå. Ren grammatik. Symbolernas regler som sådana, oberoende av vad de eventuellt betyder. Denna kunskap består av räkneregler och formella matematiska resultat, etablerade av bevis, och definitioner. Denna kunskap har datorprogrammerats i många olika verktyg, som Mupad, Mathematica och så vidare.
3. Under matematiskan. Semantik – formlers betydelser. Kunskap till stor del utanför matematiken själv, men som ofta varit en källa för matematikens tillkomst. Här finner vi de tre typerna avsemantik: tillämpad (en för varje tillämpning!), logisk-formell och idémässig.

När man löser ett tillämpat problem försöker man först finna en matematisk dräkt för problemet – detta kallas matematisk modellering. Då arbetar man från nivå 3 mot nivå 2.

När detta är klart kommer det andra steget: att lösa det matematiska problemet. Här har man etablerat ett visst oberoende av tillämpningen, vilket innebär att man kan använda matematikens alla verktyg. Det är en stor verktygslåda. Då arbetar manmellan nivå 1 och 2. Här inträffar alltså det märkliga att formlerna, som är på nivå 2, byter roll. Från att först vara ett sätt att tolka och beskriva ett problem, ett språk för en praktisk situation, till att bli objekt för problemlösningsmanipulation. Detta är ganska märkligt, men karaktäristiskt för matematik.

Det tredje steget är att utvärdera om den matematiska lösningen är rimlig ur tillämpningens perspektiv. Kanske var inte den matema-tiska modelleringen den mest träffande. Det kanske finns en bättre metod.

Axiomen är matematikens utgångspunkter. De kan inte bevisas; vi antar dem. Är de godtyckliga? Nej, verkligen inte! Nästan alla kan motiveras mycket lätt från konkreta erfarenheter från verkligheten. Alltså: från verkligheten. De är valda för att vara relevanta beskrivningar av vad vi ser omkring oss. Vilket är vad som gör matematiken så användbar.

Matematisk logik är förresten en uppstramad version av våra ständiga försök att i vardagen besluta, komma överens och reda ut det ena och det andra.

Således är det matematiska språket inte alls så entydigt som man brukar säga. Resultaten är tydliga och uttömmande – i den mån det finns resultat. Men det formella språket har både dubbelbetydelser och synonymer, som alla andra språk, och det är viktigt att förstå detta. Dessutom är det i matematik en stor poäng att kunna skriva samma sak på många sätt. Därför är matematiska resonemang mycket ofta serier av omskrivningar. Synonymerna är således viktiga.

Eftersom det formella språket inte är så långt från naturliga språk ändå – det är 400 år gammalt – är det inte så svårt att översätta mellan matematiska och svenska. Det är inte speciellt svårt att klargöra hur matematiskan fungerar genom att jämföra med svenska. Det bjuder in alla som är intresserade av språk till matematiken. Varje översättning bygger en bro mellan språk och matematik. Och mellan intresse för språk och intresse för matematik.

Håkan Lennerstad är professor emeritus i matematik vid Blekinge tekniska högskola.